Matemática Financeira
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. A ideia básica é simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa e empregar alguns procedimentos matemáticos.
O que consiste:
Há alguns elementos básicos na matemática financeira e que estão presentes no dia a dia da gestão financeira, entre eles temos percentual, juros (simples e composto), capital, montante, taxa, desconto, fluxo de caixa e diversos outros, os principais serão abordados neste curso.
O conceito mais básico e elementar na matemática financeira é o conceito de porcentagem, precisamos dele em todas as operações financeiras, mas o que é porcentagem? Porcentagem é uma medida com base 100 onde se expressa uma relação entre dois valores. O símbolo que representa a porcentagem é %.
É importante ter em mente que x%, corresponde a: x ÷100 = 0. Trocando por números, por exemplo:
30% = 30 ÷ 100 => 0,3
Entendido porcentagem vamos aos demais conceitos a começar pelos Juros.
É bastante antigo o conceito de juros no mundo financeiro, tendo sido amplamente divulgado e utilizado ao longo da História. Esse conceito surgiu naturalmente quando o Homem percebeu existir uma estreita relação entre o dinheiro e o tempo. Processos de acumulação de capital e a desvalorização da moeda levariam normalmente a ideia de juros, pois se realizavam basicamente devido ao valor temporal do dinheiro.
E foi exatamente o conceito de juros que impulsionou a gestão financeira suportada pela matemática financeira. Vamos então aos principais conceitos da matemática financeira.
Capital: O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor Aplicado. Em inglês usa-se Present Value (indicado pela tecla PV nas calculadoras financeiras).
Juros: Juros representam à remuneração do Capital empregado em alguma atividade produtiva. Os juros podem ser capitalizados segundo dois regimes: simples ou compostos.
Juros Simples: Os juros de cada intervalo de tempo sempre são calculadossobre o capital inicial emprestado ou aplicado. Sobre os juros gerados a cada período não incidirão novos juros.
Valor Principal ou simplesmente principal é o valor inicial emprestado ou aplicado, antes de somarmos os juros. Transformando em fórmula temos:
J = P. i. n,
onde:
J = juros
P = principal (capital)
i = taxa de juros
n = número de períodos
Exemplo: Temos uma dívida de R$ 1000,00 que deve ser paga com juros de 8% a.m. pelo regime de juros simples e devemos pagá-la em 2 meses. Os juros que pagarei serão:
Solução: J = 1000,00 x 0.08 x 2 = 160,00
Ao somarmos os juros ao valor principal temos o montante.
Juros Compostos: Os juros de cada intervalo de tempo são calculados a partir do saldo no início de correspondente intervalo. Ou seja: o juro de cada intervalo de tempo é incorporado ao capital inicial e passa a render juros também.
O juro é a remuneração pelo empréstimo do dinheiro. Ele existe porque a maioria das pessoas prefere o consumo imediato, e está disposta a pagar um preço por isto. Por outro lado, quem for capaz de esperar até possuir a quantia suficiente para adquirir seu desejo, e neste ínterim estiver disposta a emprestar esta quantia a alguém, menos paciente, deve ser recompensado por esta abstinência na proporção do tempo e risco, que a operação envolver. O tempo, o risco e a quantidade de dinheiro disponível no mercado para empréstimos definem qual deverá ser a remuneração, mais conhecida como taxa de juros.
Quando se usa juros simples e juros compostos?
A maioria das operações envolvendo dinheiro utiliza juros compostos. Estão incluídas: compras a médio e longo prazo, compras com cartão de crédito, empréstimos bancários, as aplicações financeiras usuais como Caderneta de Poupança e aplicações em fundos de renda fixa etc. Raramente encontramos uso para o regime de juros simples: é o caso das operações de curtíssimo prazo, e do processo de desconto simples de duplicatas.
O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia a dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte.
Chama-se de capitalização o momento em que os juros são incorporados ao principal. Após três meses de capitalização, temos:
1º mês: M =P.(1 + i)
2º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i)
3º mês: o principal é igual ao montante do mês anterior: M = P x (1 + i) x (1 + i) x (1 + i)
Simplificando, obtemos a fórmula:
M = P. (1 + i )nº
Importante: a taxa i tem que ser expressa na mesma medida de tempo de n, ou seja, taxa de juros ao mês para n meses.
Para calcularmos apenas os juros basta diminuir o principal do montante ao final do período: J = M – P
Exemplo: Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado os juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.
(use log 1,035=0,0149 e log 1,509=0,1788)
Solução: M = P. (1 + i )n
P = R$6.000,00 ; t = 1 ; ano = 12 meses ; i = 3,5 % a.m. = 0,035; M = ?
Usando a fórmula, obtemos:
M = 6000.(1+0,035)¹²
M = 6000. (1,035)¹²
Fazendo x = 1,035¹² e aplicando logaritmos, encontramos
log x = log 1,035¹² => log x = 12 log 1,035 => log x = 12( 0,0149) = 0,1788 log x = 0,1788 => x = 1,509
Então M = 6000.1,509 = 9054. Portanto o montante é R$9.054,00
Taxa de juros: A taxa de juros indica qual remuneração será paga ao dinheiro emprestado, para um determinado período. Ela vem normalmente expressa da forma percentual, em seguida da especificação do período a que se refere:
8 % a.a. - (a.a. significa ao ano).
10 % a.t. - (a.t. significa ao trimestre).
Outra forma de apresentação da taxa de juros é a unitária, que é igual à taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:
0,15 a.m. - (a.m. significa ao mês).
0,10 a.q. - (a.q. significa ao quadrimestre).
Cuidado com o período que vem representado na taxa porque em muitas situações precisamos transformar o valor da taxa devido ao período não estar adequado ao problema e aos dados da questão. A isso temos as Taxas Equivalentes.